اهداف: اندازه گیری فاصله زمبن و خورشید با استفاده از مشاهده گذر زهره از دو مکان متفاوت که بر روی یک نصف النهار قرار گرفته باشند. البته محاسبه این فاصله از روی دو نصف النهار متفاوت نیز امکان پذیر است ولی احتیاج به روابط ریاضی پیچیده ای دارد.ارائه یک روش ساده شده که براساس اندازه گیری های انجام شده در قرن 18 به دست آمده.
1-دو محل مشاهده بر روی سطح خورشید تصویر می شوند و مراکز زمین، خورشید و زهره در یک صفحه قرار دارند.
2-مدار زمین و زهره به دور خورشید دایره است.
پیش زمینه های لازم:
الف )اطلاعات ریاضی:
مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر با 180 درجه است.
نسبت های مستقیم
تئوری فیثاغورث (اختیاری)
ب )اطلاعات نجومی
قانون سوم کپلر
تعریف parallax افقی
ج )وسایل لازم
خط کش
ماشین حساب
مقدمه:
سفر ادموند هالی( Ser Edward Halley) در سال های 1761، 1769 پیشنهاد برپائی مسابقه ای در زمنیه مشاهده گذر زهره را داد و جین نیکلاس دلیسله (Jean Nicolas Delisle) نتایج آن را گرد آوری کرد. ما این مشاهدات را برای محاسبه فاصله زمین و خورشد با استفاده از یک روش ساده برای رصد گران در نصف النهارهای یکسان (با عرض از مبداهای متفاوت) به کار می گیریم. برای افزایش دقت محاسبات بهتر است افراد در مکان هائی با حدکثر اختلات ممکن در عرض جغرافیایی قرار گیرند.
روشی که در این جا استفاده می شود، ساده شده نسخه ای است که هالی از آن در قرن 18 میلادی استفاده کرد.
مکان هائی که در آن زمان برای رصد به کار می رفت، بسیار دور افتاده بودند و سفر کردن به خاطر جنگ های اقوام و ملت ها و طوفان بسیار خطرناک بود. به طوری که در زمان مورد بحث ما در اقیانوس هند، انگلیس و فرانسه جنگ بود.
لازم به ذکر است که برای اولین بار در گذر سال 1761 چنین موقعیتی پیش آمد که یک مسابقه علمی بین الممللی با بیش از 130 حضور در سراسر جهان برگزار شود.
در سال 1769 نیز 151 رصد گر در 77 جای مکان مختلف به مشاهده گذر پرداختند. هریک از این گروه ها مشکلات خاص خود را داشتند که باعث می شد نتایج مورد نظر حاصل نشود.
مشاهدات از روی زمین:
حال دو رصد گر را در نظر می گیریم که در موقعیت های A و B بر روی یک نصف النهار با عرض از مبدا های متفاوت قرار دارند.
زهره به صورت یک دیسک کوچک بر روی سطح خورشید در دو نقطه A` و B` دیده میشود، و این به خاطر آن است که خطوط نور که به A و B می رسند با هم فرق دارند.
با قرار دادن نتایج دو مشاهده در کنار هم، امکان محاسبه Parallax فراهم میشود. با قرار دادن مراکز در خورشید (یکی برای ناظر A و دیگری برای ناظر B) بر روی هم A`B` فاصله مکانی بین دو مشاهده در یک لحظه بدست می آید.
اگر ما حرکت زهره را از زمان تماس اول تا انتها مشاهده کنیم و خط مسیر آن را روی خورشید در طول گذر ترسیم کنیم دو خط متفاوت ولی موازی یکی برای مشاهده از A و یکی برای B خواهیم داشت. فاصله این دو خط، جابجایی( parallax (Δβ است
عکس از گذر عطارد در سال 2003 میلادی
چگونه فاصله بین خورشید و زمین را محاسبه کنیم:
خورشید به مرکز C، زمین به مرکز O و زهره به مرکز V را در نظر می‌گیریم:
شخصی که در نقطه A قرار دارد زهره را در A` بر روی خورشید می بیند و شخصی که در نقطه B قرار دارد زهره را در B` می‌بیند. همان طور که می‌بینید مرکز زمین، زهره و خورشید بر روی یک خط قرار ندارند (شکل 1) ولی این به ما در جهت ساده سازی روابط ریاضی کمک می‌کند.
شکل 1
مثلث های APV و BPC دارای زاویه خارجی برابر در نقطه P هستند می توان نوشت:
βv + β1 = βs + β2
بنابراین:
βv - βs = β2 - β1 = Δβ
که در آن Δβ فاصله بین دو خط اثر گذر زهره بر روی سطح خورشید است. با ساده سازی خواهیم داشت:
Δβ = βs (βv / βs) - 1)
فاصله بین زمین‌ـ خورشید را re و زهره‌ـ خورشید rv را در نظرمی‌گیریم
Parallax زهره برابر است با βv = AB / (re- rv) و parallax خورشید
βs = AB / re می باشد. با استفاده از این دو نسبت βv / βs را حساب می کنیم
βv / βs = re / (re- rv)
با جایگذاری این نسبت در رابطه Δβ خواهیم داشت
Δβ = βs (re / (re- rv) - 1) = βs rv / (re- rv)
بنابراین:
(βs = Δβ (re / rv) - 1)
نسبت rv / re را می توانیم با استفاده از قانون سوم کپلر به دست آوریم. همان طور که می دانیم یک سال زمینی 365.25 روز و یک سال برای سیاره زهره معادل 224.7 روز است.
(re / rv)3 = (365.25 / 224.7)2
بنابراین:
re / rv = 1.38248
با استفاده از نتایج روابط parallax خورشید، خواهیم داشت
βs = Δβ (re / rv) - 1) = Δβ (1.38248 - 1)
در نتیجه
βs = 0.38248 Δβ
و در نهایت با استفاده از تعریف parallax ، فاصله زمین از خورشید، re این چنین تعریف می شود:
re = AB / βs
در نتیجه به فاصله بین دو رصد گر (AB) و Δβ ناشی از اطلاعات دیداری احتیاج داریم.
مشاهدات سال 1769
برای وضوح بیشتر از محاسبات گذر سال 1769 استفاده می‌کنیم، که این اطلاعات را در کتاب تاریخ نجوم ("A History of Astronomy" by A. Pannekoek) ثبت شده است. این کتاب شامل طراحی ها و جداول گذر است که در مکان های مختلف در سال های 69 و 61 به دست آمده، در اینجا از اطلاعات مربوط به Lapland و Tahiti برای روشن شدن مطلب استفاده می کنیم.
نقطه زهره در تائیتی از این زمان نام‌گذاری شده
الف )فاصله بین دو نقطه رصد A و B :
فاصله AB به وسیله عرض از مبدا دو نقطه مشاهده شده، محاسبه میشود. بر روی شکل φ1 و φ2 عرض از مبدا دونقطه A و B هستند و R شعاع زمین.
در مثلث بازی که مثلث متساوی الساقین RAB را قطع می‌کند داریم:
sin (φ1 + φ2) / 2) = (AB / 2) / R
با توجه به این رابطه خواهیم داشت
AB = 2 R sin (φ1 + φ2) / 2)
دقت کنید! اگر نقاط A و B در یک چهارم یکسانی از دایره باشند زاویه مورد نظر (φ1 - φ2) / 2)خواهد بود.
به طور مثال لایلاند و تائینی بر روی یک نصف النهار قرار دارند با عرض از مبدا های 70° 21' N و 17° 32' S .
در نتیجه هندسه مساله تغییر می کند و زاویه جدید φ برابر است با :
φ = (90 - φ1) + 90 + φ2 = 127° 11' R = 6378 km
و با توجه به شعاع زمین R = 6378 km خواهیم داشت:
AB = 2 R sin(φ / 2) = 11425 km
سفر کاپیتان جیمز کوک به هائیتی
ب) محاسبه Δβ
برای محاسبه Δβ از روش اندازه گیری مستقیم، قطر خورشید D و A'B' را از روی طراحی و یا عکس حساب می کنیم. قطر زاویه ای خورشید که از روی زمین دیده می شود 30' است. با استفاده از تناسب خواهیم داشت:
Δβ / 30' = A'B' / D
بنابراین:
Δβ = (30') (A'B' / D)
دقت کنید که برای محاسبات باید قطر زاویه‌ای خورشید را بر حسب رادیان نوشت در نتیجه داریم:
Δβ = (30 π / 10800) (A'B' / D)
Δβ = (π /360) (A'B' /
با اندازه گیری فاصله بین دو خط مستقیم 1و3 خواهیم داشت: Δβ = 1.5 mm وقطر برروی طراحی برابر با
D = 70 mm است. در نتیجه
Δβ = (π / 360)(1.5 / 70) = 0.00019 radians
در محاسبه مستقیم Δβ ، خطا در اندازه گیری به وجود می آید